El matemático David Hilbert ideó una historia fascinante para ilustrar la extraña naturaleza del infinito: un hotel con infinitas habitaciones. Su dueño, un excéntrico millonario, decidió que construiría el hotel más grande del mundo, uno que jamás pudiera ser superado .
Un día, el Hotel Infinito está a su máxima capacidad, todas las habitaciones ocupadas. Pero entonces, llega un viajero más y la recepcionista, Rosa, entra en pánico. ¿Dónde lo alojará si el hotel ya está lleno?
Aquí es donde lo infinito juega un truco inesperado. Rosa pide a cada huésped que se mueva a la siguiente habitación: el del cuarto 1 se muda al 2, el del 2 al 3, el del 3 al 4, y así sucesivamente. Como las habitaciones son infinitas, siempre hay una siguiente disponible. Ahora, el cuarto 1 ha quedado libre, y el nuevo huésped puede acomodarse sin problemas.
¿Significa esto que el infinito más 1 es más grande que el infinito? Algo no cuadra…
El hotel se vuelve tan popular que un día llega un tren con un número infinito de viajeros. Rosa, de nuevo, se enfrenta a lo imposible: ¿cómo hospedar a un nuevo infinito dentro de un infinito que ya está lleno?
Su ingenio brilla de nuevo. Pide a cada huésped que multiplique su número de habitación por 2 y se mude a ese cuarto. Así, el del cuarto 1 se va al 2, el del 2 al 4, el del 3 al 6, el del 4 al 8… de repente, todas las habitaciones impares quedan vacías, listas para recibir a los nuevos viajeros.
Y aquí surge otra paradoja: aunque los números impares son una parte del conjunto de los números naturales, siguen siendo infinitos. Pero este infinito parece ser más pequeño dentro de otro infinito más grande.
Cuando Rosa pensó que ya tenía todo resuelto, la situación se complica aún más. Ahora llegan no solo más personas, sino infinitos trenes, cada uno con un infinito número de pasajeros. ¿Podrá su ingenio salvarla esta vez?
Siguiendo un método matemático brillante, reorganiza a los huéspedes usando los llamados "números triangulares". Cada huésped original se mueve a un cuarto específico de acuerdo con una fórmula matemática, creando huecos estratégicos para que cada tren pueda acomodarse en un orden predecible.
Este problema apenas raspa la superficie de lo que los matemáticos llaman "infinitos contables". Si consideramos los números reales, la situación se vuelve aún más extraña: entre cada número entero hay un número infinito de fracciones e irracionales, lo que nos lleva a infinitos que son aún más grandes que otros.
Algunos matemáticos, como Norman Wildberger, han argumentado que el infinito debería ser eliminado de las matemáticas, ya que nunca lo hemos experimentado en la vida real. Sin embargo, su utilidad es innegable: desde la física cuántica hasta el cálculo, el infinito es una herramienta fundamental para entender el universo.
